Luogu | P5021 [NOIp 2018] 赛道修建 | 贪心


Description

C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前,需要在城内修建 $m$ 条赛道。

C 城一共有 $n$ 个路口,这些路口编号为 $1,2,…,n$,有 $n−1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路,每条道路连接着两个路口。其中,第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为 $a_i$ 和 $b_i$,该道路的长度为 $l_i$。借助这 $n-1$ 条道路,从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。

一条赛道是一组互不相同的道路 $e_1,e_2,…,e_k$,满足可以从某个路口出发,依次经过道路 $e_1,e_2,…,e_k$(每条道路经过一次,不允许调头)到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全,要求每条道路至多被一条赛道经过。

目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案,使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大(即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大)。


Input Format

输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 $n,m$,分别表示路口数及需要修建的赛道数。

接下来 $n-1$ 行,第 $i$ 行包含三个正整数 $a_i,b_i,l_i$,表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n-1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。


Output Format

输出共一行,包含一个整数,表示长度最小的赛道长度的最大值。


Input Sample

Sample 01

7 1
1 2 10
1 3 5
2 4 9
2 5 8
3 6 6
3 7 7

Sample 02

9 3
1 2 6
2 3 3
3 4 5
4 5 10
6 2 4
7 2 9
8 4 7
9 4 4


Output Sample

Sample 01

31

Sample 02

15


Data Range

$m < n \le 5\times 10^4$。$l_i \le 10^4$。


Solution

题目很明显提示二分答案,上界为树的直径。

问题转化为将一棵树划分为尽量多长度不小于 mid 的链。由于每个点只有一条父边,所以只考虑从所有子结点中选择一个向上延伸(返回链长),剩下的结点向下找能配对的链。

具体做法是,对于当前考察的结点 x ,将其所有子结点返回的权值(链长)都存在一个 multiset 内,然后从小到大对于 multiset 中的每一个元素,找一个能连成长度不小于 mid 的链的另外的子树连,如果连不上,则当前元素没有用。最后返回没有用到的元素的最大值。


Code

#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define swap(x,y) {int t=x; x=y,y=t;}
#define wipe(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define dbgIn(x) freopen(x".in","r+",stdin)
#define rep(x,y,z) for(int x=y,I=z;x<=I;++x)
#define dbgOut(x) freopen(x".out","w+",stdout)
#define file(x) freopen(x".in","r+",stdin); freopen(x".out","w+",stdout)

using std::multiset;

int buf[20];

template <class T> inline void Read(T &x){
    x=0;
    char ch=0;
    bool neg=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
        ch=getchar(),neg|=(ch=='-');
    while(ch>='0'&&ch<='9')
        x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    x*=neg?-1:1;
    return;
}

template <class T> inline void Write(T x){
    if(!x){
        putchar('0');
        putchar('\n');
        return;
    }
    if(x<0){
        x=-x;
        putchar('-');
    }
    int cntr=0;
    while(x)
        buf[++cntr]=x%10,x/=10;
    for(int i=cntr;i;i--)
        putchar(buf[i]+48);
    putchar('\n');
    return;
}

struct edge{
    int from;
    int to;
    int next;
    int w;
}e[100005];

int N;
int M;
int L;
int R;
int ans;
int cnt;
int mid;
int node;
int farth;

int first[50005];
int last[50005];
int dist[50005];

multiset<int>ms[50005];
multiset<int>::iterator it;

void addedge(int u,int v,int w){
    e[++node]=(edge){u,v,0,w};
    if(first[u]==0) first[u]=node;
    else e[last[u]].next=node;
    last[u]=node; return;
}

void GetFar(int x,int fa){
    for(int p=first[x];p;p=e[p].next){
        int y=e[p].to;
        if(y==fa)
            continue;
        dist[y]=dist[x]+e[p].w;
        GetFar(y,x);
    }
    return;
}

int Src(int x,int fa){
    ms[x].clear();
    for(int p=first[x];p;p=e[p].next){
        int y=e[p].to;
        if(y==fa)
            continue;
        int rt=Src(y,x);
        if(rt+e[p].w>=mid)
            cnt++;
        else
            ms[x].insert(rt+e[p].w);
    }
    int ret=0;
    it=ms[x].begin();
    while(!ms[x].empty()){
        if(ms[x].size()==1)
            return *ms[x].begin();
        else{
            it=ms[x].lower_bound(mid-*ms[x].begin());
            if(it==ms[x].end()){
                ret=max(ret,*ms[x].begin());
                ms[x].erase(*ms[x].begin());
            }
            else{
                cnt++;
                ms[x].erase(it);
                ms[x].erase(ms[x].begin());
            }
        }
    }
    return ret;
}

int main(){
    int farth;
    int f,t,w;
    Read(N);
    Read(M);
    rep(i,2,N){
        Read(f);
        Read(t);
        Read(w);
        addedge(t,f,w);
        addedge(f,t,w);
    }
    GetFar(1,0);
    rep(i,1,N)
        if(dist[i]>dist[farth])
            farth=i;
    GetFar(farth,0);
    rep(i,1,N)
        if(dist[i]>R)
            R=dist[i];
    while(L<=R){
        cnt=0;
        mid=(L+R)>>1;
        Src(1,0);
        if(cnt>=M)
            ans=mid,L=mid+1;
        else
            R=mid-1;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}