Luogu | P5021 [NOIp 2018] 赛道修建 | 贪心
Description
C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 $m$ 条赛道。
C 城一共有 $n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2,…,n$，有 $n−1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为 $a_i$ 和 $b_i$，该道路的长度为 $l_i$。借助这 $n-1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。
一条赛道是一组互不相同的道路 $e_1,e_2,…,e_k$，满足可以从某个路口出发，依次经过道路 $e_1,e_2,…,e_k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。
目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）。
Input Format
输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 $n,m$，分别表示路口数及需要修建的赛道数。
接下来 $n-1$ 行，第 $i$ 行包含三个正整数 $a_i,b_i,l_i$，表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n-1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。
Output Format
输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。
Input Sample
Sample 01
7 1
1 2 10
1 3 5
2 4 9
2 5 8
3 6 6
3 7 7
Sample 02
9 3
1 2 6
2 3 3
3 4 5
4 5 10
6 2 4
7 2 9
8 4 7
9 4 4
Output Sample
Sample 01
31
Sample 02
15
Data Range
$m < n \le 5\times 10^4$。$l_i \le 10^4$。
Solution
题目很明显提示二分答案，上界为树的直径。
问题转化为将一棵树划分为尽量多长度不小于 mid 的链。由于每个点只有一条父边，所以只考虑从所有子结点中选择一个向上延伸（返回链长），剩下的结点向下找能配对的链。
具体做法是，对于当前考察的结点 x ，将其所有子结点返回的权值（链长）都存在一个 multiset 内，然后从小到大对于 multiset 中的每一个元素，找一个能连成长度不小于 mid 的链的另外的子树连，如果连不上，则当前元素没有用。最后返回没有用到的元素的最大值。
Code
#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define swap(x,y) {int t=x; x=y,y=t;}
#define wipe(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define dbgIn(x) freopen(x".in","r+",stdin)
#define rep(x,y,z) for(int x=y,I=z;x<=I;++x)
#define dbgOut(x) freopen(x".out","w+",stdout)
#define file(x) freopen(x".in","r+",stdin); freopen(x".out","w+",stdout)
using std::multiset;
int buf[20];
template <class T> inline void Read(T &x){
x=0;
char ch=0;
bool neg=0;
while(ch<'0'||ch>'9')
ch=getchar(),neg|=(ch=='-');
while(ch>='0'&&ch<='9')
x=x*10+ch-48,ch=getchar();
x*=neg?-1:1;
return;
}
template <class T> inline void Write(T x){
if(!x){
putchar('0');
putchar('\n');
return;
}
if(x<0){
x=-x;
putchar('-');
}
int cntr=0;
while(x)
buf[++cntr]=x%10,x/=10;
for(int i=cntr;i;i--)
putchar(buf[i]+48);
putchar('\n');
return;
}
struct edge{
int from;
int to;
int next;
int w;
}e[100005];
int N;
int M;
int L;
int R;
int ans;
int cnt;
int mid;
int node;
int farth;
int first[50005];
int last[50005];
int dist[50005];
multiset<int>ms[50005];
multiset<int>::iterator it;
void addedge(int u,int v,int w){
e[++node]=(edge){u,v,0,w};
if(first[u]==0) first[u]=node;
else e[last[u]].next=node;
last[u]=node; return;
}
void GetFar(int x,int fa){
for(int p=first[x];p;p=e[p].next){
int y=e[p].to;
if(y==fa)
continue;
dist[y]=dist[x]+e[p].w;
GetFar(y,x);
}
return;
}
int Src(int x,int fa){
ms[x].clear();
for(int p=first[x];p;p=e[p].next){
int y=e[p].to;
if(y==fa)
continue;
int rt=Src(y,x);
if(rt+e[p].w>=mid)
cnt++;
else
ms[x].insert(rt+e[p].w);
}
int ret=0;
it=ms[x].begin();
while(!ms[x].empty()){
if(ms[x].size()==1)
return *ms[x].begin();
else{
it=ms[x].lower_bound(mid-*ms[x].begin());
if(it==ms[x].end()){
ret=max(ret,*ms[x].begin());
ms[x].erase(*ms[x].begin());
}
else{
cnt++;
ms[x].erase(it);
ms[x].erase(ms[x].begin());
}
}
}
return ret;
}
int main(){
int farth;
int f,t,w;
Read(N);
Read(M);
rep(i,2,N){
Read(f);
Read(t);
Read(w);
addedge(t,f,w);
addedge(f,t,w);
}
GetFar(1,0);
rep(i,1,N)
if(dist[i]>dist[farth])
farth=i;
GetFar(farth,0);
rep(i,1,N)
if(dist[i]>R)
R=dist[i];
while(L<=R){
cnt=0;
mid=(L+R)>>1;
Src(1,0);
if(cnt>=M)
ans=mid,L=mid+1;
else
R=mid-1;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
